在目标检测任务一个重要的任务是如何得到一个框得很合适的 Bounding Box？我们这里介绍一种叫做 Bounding Box Regression 的方法。
边框回归（Bounding Box Regression）
首先我们给出这样的一幅图：
边框回归各种边框关系图
- 黄色框 T 表示真实框 (Ground Truth)
- 白色框 P 表示边界框 (Predicted Bounding Box)
- 红色框 G 表示 P 经过边框回归后得到的预测框 (Ground Predicted Bounding Box)
所谓边框回归 (Bounding Box Regression) 就是指边界框 P 经过调整成为预测框的过程。
每个边框的 location 为 $(x, y , w, h)$ 分别表示为中心坐标以及宽、高，以这种坐标表示就能消除不同尺寸下的全局坐标的问题。P，T，G 三个框分别表示为：
- $p=(b^{x},b^{y},b^{w},b^{h}) $
- $ t=(t^{x},t^{y},t^{w},t^{h})$
- $g=(g^{x},g^{y},g^{w},g^{h})$
边框回归也就是要找到一个函数使得 $f(p)=g$。
P 如何变成 G？以上图为例，我们要以 T 作为参考系，让 P 尺度扩张然后再往左移动（尺度缩放和平移操作），首先看尺度缩放，当然不能随便同比例缩放宽和高，可以利用下面的扩张方法，用 $\log$ 的考虑是如果 P 已经跟 T 重合了，那么 ${t^{w}\over{b^{w}}} = 1$，$\Delta w = 0$，就不需要继续变换：
\[\Delta w=log({t^{w}\over{b^{w}}})\] \[\Delta h=log({t^{h}\over{b^{h}}})\]$\Delta w$ 和 $\Delta h$ 就是扩张比例，即 $g^{w}=b^{w}\Delta w$ 和 $g^{h}=b^{h}\Delta h$ ，这样 P 就经过尺度缩放变成了 G 相同大小。接下来进行平移：
\[\Delta x={(t^{x}-b^{x})\over{b^{w}}}\] \[\Delta y={(t^{y}-b^{y})\over{b^{h}}}\]$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 就是平移尺度，即 $g^{x}=b^{x}+\Delta x$ 和 $g^{y}=b^{y}+\Delta y$ ，经过这两步 P 就可以变换为 G。
在这里 $(\Delta x,\Delta y,\Delta w,\Delta h)$ 就是想要获得最终预测框应该做的一次性操作，这个是相当于分类结果中的类标 $y$，因为我们知道真实框的位置，自然一下就知道该怎么缩放和平移。但是在做回归去找预测框的时候就只能一点一点的缩放和平移，我们假设这个一点一点缩放和平移的操作函数是 $h(p)$，那么我们想最后 $h(p)$ 的结果和 $(\Delta x,\Delta y,\Delta w,\Delta h)$ 应该是尽可能一致的，于是我们就能得到如下的损失函数：
\[J(p)=\sum_{i}^{N}{}((\Delta x,\Delta y,\Delta w,\Delta h)-h(p))^{2}\]当选择了一定的回归操作函数就可以利用梯度下降来求得结果了。